纳什嵌入定理

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納許嵌入定理(Nash embedding theorem)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rn。

「等距」表示「保持曲线长度」。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于 C1-光滑嵌入，第二个用于解析或Ck, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但并不直观，而第二个非常具有技术性但其结论并不让人吃惊。

(i) C1-光滑,

(ii) 等距， 也即对于在点的切空间任何两个向量，我们有.

(iii) ε-接近f, i.e. : | f(x) − fε(x) | < ε 对于所有。

定理有很多反直观的暗示。例如，可以得出任何闭可定向曲面可以C1嵌入到在欧几里得三维空间中的任意小球(根据高斯公式,不存在这样的C2-嵌入)。

技术性的陈述如下: 若M为一给定m-维黎曼流形 (解析或属于Ck类, 3 ≤ k ≤ ∞), 则存在n (n = m2 + 5m + 3 就可以)和一个单射f : M -> Rn (也是解析的或者属于Ck类)使得对于M的所有点p，导数 dfp 是一个线性映射从切空间 TpM 到\Rn，和给定在TpM上的内积和\Rn的标准內积在如下意义下兼容:

< u, v > = dfp(u) · dfp(v)

对于TpM中的所有向量u, v。 这是偏微分方程(PDE)的不定系统。

• N.H.Kuiper: "On C1-isometric imbeddings I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., 58 (1955), pp 545-556.
• John Nash: "C1-isometric imbeddings", Annals of Mathematics, 60 (1954), pp 383-396.
• John Nash: "The imbedding problem for Riemannian manifolds", Annals of Mathematics, 63 (1956), pp 20-63.
• John Nash: "Analyticity of the solutions of implicit function problem with analytic data" Annals of Mathematics, 84 (1966), pp 345-355.

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