黎曼空间

黎曼流形（Riemannian manifold）是一個微分流形，其中每點 p 的切空間都定義了點積，而且其數值隨 p 平滑地改變。它容許我們定義弧線長度，角度，面積，體積，曲率，函數梯度及向量域的散度。

每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量: 把Rn的點積都限制於切空間內。實際上，根据纳什嵌入定理, 所有黎曼流形都可以這樣产生。

黎曼流形可以定义为平滑流形，其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間：

如果 γ : [a, b] → M 是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線，我們可以定義它的長度L(γ) 為

（注意：γ'(t) 是切空間M在γ(t)點的元素; ||·||是切空間的內積所得出的範數。)

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ 是连接x和y的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的，“直線”的概念依然存在:那就是測地線.

• 黎曼幾何
• 芬斯勒流形
• 假黎曼流形

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2

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